Question

（本小題滿分10分）

四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，

邊長為，PD=，PD⊥平面ABCD

（1）求證: AC⊥PB ；

（2）求二面角A－PB－D的大小；

（3）求四棱錐外接球的半徑．

（4）在這個四棱錐中放入一個球，求球的最大半徑；

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

(1)證明

(2) A－PB－D的大小為60

(3)        

 

(4)球的最大半徑為 

【解析】(1)證明：連結(jié)BD，∵ABCD是正方形∴BD⊥AC ∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥AC

 ∵PD∩BD=D   ∴AC⊥平面PDB∵PBÌ平面PDB  ∴AC⊥PB      ……………(4分)

(2)解：設AC∩BD=0，過A作AE⊥PB于E，連接OE∵AO⊥平面PBD ∴OE⊥PB

∴∠AEO為二面角 A－PB－D的平面角∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB

∴PA⊥AB在Rt△PDB中，，在Rt△PAB中，

∵∴，

在Rt△AOE中，，∴∠AEO=60°

∴二面角A－PB－D的大小為60. ……………(8分)

(3)解：解：設PB的中點為F，∵在Rt△PDB中：FP=FB=FD

在Rt△PAB中：FA=FP=FB，在Rt△PBC中：FP=FB=FC

∴FP=FB=FA=FC=FD    ∴F為四棱錐外接球的球心

則FP為外接球的半徑    ∵FP=    ∴

      ∴四棱錐外接球的半徑為                  ……………(12分)

 

(4) 設此球半徑為R，最大的球應與四棱錐各個面都相切，設球心為S，連SA、SB、SC、SD、SP，則把此四棱錐分為五個棱錐，設它們的高均為R

   

      

    ∵

   

    ∴   ∴

    ∴球的最大半徑為