Question

已知函數(shù)f（x）=

|lnx|， (0＜x≤e3) e3+3-x， (x＞e3)

，存在x₁＜x₂＜x₃，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），則

f(x3)

x2

的最大值為

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先確定1＜x₂＜e³，再令y=

lnx

x

，求出函數(shù)的最大值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由題意，0＜lnx₂＜3，∴1＜x₂＜e³，
又

f(x3)

x2

=

f(x2)

x2

，故令y=

lnx

x

，則y′=

1-lnx

x2

，
∴x∈（1，e），y′＞0，x∈（e，e³），y′＜0，
∴函數(shù)在（1，e）上單調(diào)遞增，在（e，e³）上單調(diào)遞減，
∴x=e時，函數(shù)取得最大值

1

e

，
∴

f(x3)

x2

的最大值為

1

e

．
故答案為：

1

e

．

點評：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查利用導數(shù)求最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．