Question

15．已知不等式f（x）=3$\sqrt{2}$sin $\frac{x}{4}$•cos $\frac{x}{4}$+$\sqrt{6}$cos²$\frac{x}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$+m≤0，對(duì)于任意的-$\frac{5π}{6}$≤x≤$\frac{π}{6}$恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． m≥$\sqrt{3}$
• B． m≤$\sqrt{3}$
• C． m≤-$\sqrt{3}$
• D． -$\sqrt{3}$≤m≤$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用根據(jù)二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，確定m的不等式關(guān)系，進(jìn)而利用x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)確定$\sqrt{6}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的范圍，進(jìn)而求得m的范圍．

解答 解：∵f（x）=3$\sqrt{2}$sin $\frac{x}{4}$•cos $\frac{x}{4}$+$\sqrt{6}$cos²$\frac{x}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$+m=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$cos$\frac{x}{2}$+m≤0，
∴-m≥$\sqrt{6}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），
∵-$\frac{5π}{6}$≤x≤$\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{π}{4}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{4}$，
∴-$\sqrt{3}$≤$\sqrt{6}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$，
∴-m≥$\sqrt{3}$．
∴m≤-$\sqrt{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的最值問(wèn)題，不等式恒成立的問(wèn)題．涉及了知識(shí)面較多，考查了知識(shí)的綜合性，屬于中檔題．