Question

4．若函數(shù)f（x）對于定義域內(nèi)的任意x都滿足$f（x）=f（\frac{1}{x}）$，則稱f（x）具有性質(zhì)M．
（1）很明顯，函數(shù)$f（x）=x+\frac{1}{x}$（x∈（0，+∞）具有性質(zhì)M；請證明$f（x）=x+\frac{1}{x}$（x∈（0，+∞）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（2）已知函數(shù)g（x）=|lnx|，點(diǎn)A（1，0），直線y=t（t＞0）與g（x）的圖象相交于B、C兩點(diǎn)（B在左邊），驗(yàn)證函數(shù)g（x）具有性質(zhì)M并證明|AB|＜|AC|．
（3）已知函數(shù)$h（x）=|x-\frac{1}{x}|$，是否存在正數(shù)m，n，k，當(dāng)h（x）的定義域?yàn)閇m，n]時(shí)，其值域?yàn)閇km，kn]，若存在，求k的范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可，
（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)利用作差法進(jìn)行判斷即可，
（3）根據(jù) 函數(shù)定義域和值域的關(guān)系建立方程，進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{\frac{1}{x}}$=x+$\frac{1}{x}$=f（x），∴函數(shù)f（x）具有性質(zhì)M．
任取x₁、x₂且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
若x₁、x₂∈（0，1），
則0＜x₁x₂＜1，x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．
若x₁、x₂∈（1，+∞），
則x₁x₂＞1，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（2）∵$g（\frac{1}{x}）=|ln\frac{1}{x}|=|-lnx|=|lnx|=g（x）$，∴g（x）具有性質(zhì)M   （4分）
由|lnx|=t得，lnx=-t或lnx=t，x=e^-t或x=e^t，
∵t＞0，∴e^-t＜e^t，
∴${x_B}={e^{-t}}，{x_c}={e^t}$，
∴$|AB|=\sqrt{{{（1-{x_B}）}^2}+{t^2}}=\sqrt{{{（1-{e^{-t}}）}^2}+{t^2}}$，∴$|AC|=\sqrt{{{（1-{x_c}）}^2}+{t^2}}=\sqrt{{{（1-{e^t}）}^2}+{t^2}}$，
∴|AB|²-|AC|²=（1-e^-t）²-（1-e^t）²=[2-（e^-t+e^t）]（e^t-e^-t）
由（1）知，$f（x）=x+\frac{1}{x}$在x∈（0，+∞）上的最小值為1（其中x=1時(shí)）
而$0＜{e^{-t}}=\frac{1}{e^t}＜1＜{e^t}$，故2-（e^-t+e^t）＜0，e^t-e^-t＞0，
|AB|＜|AC|（7分）
（3）∵h(yuǎn)（1）=0，m，n，k均為正數(shù)，
∴0＜m＜n＜1或1＜m＜n（8分）
當(dāng)0＜m＜n＜1時(shí)，0＜x＜1，$h（x）=|x-\frac{1}{x}|$=$\frac{1}{x}-x$是減函數(shù)，
值域?yàn)椋╤（n），h（m）），h（n）=km，h（m）=kn，
∴$\frac{h（n）}{h（m）}=\frac{m}{n}$，∴$\frac{{\frac{1}{n}-n}}{{\frac{1}{m}-m}}=\frac{m}{n}$，∴1-n²=1-m²
故不存在   （10分）
當(dāng)1＜m＜n時(shí)，x＞1，$h（x）=|x-\frac{1}{x}|$=$x-\frac{1}{x}$是增函數(shù)，
∴h（m）=km，h（n）=kn，∴$m-\frac{1}{m}=km，n-\frac{1}{n}=kn$，
∴（1-k）m²=1，（1-k）n²=1，${m^2}={n^2}=\frac{1}{1-k}$，不存在
綜合得，若不存在正數(shù)m，n，k滿足條件．                 （12分）

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，結(jié)合新定義，以及利用函數(shù)與方程的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．