Question

在直角坐標系xOy中，動點A，B分別在射線和上運動，且△OAB的面積為1．則點A，B的橫坐標之積為    ；△OAB周長的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，OA、OB的斜率之積為-1，得OA⊥OB．設(shè)A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂），算出|OA|=x₁，|OB|=2x₂，結(jié)合三角形面積為1列式，化簡即得x₁x₂=．再由基本不等式算出△OAB周長|OA|+|OB|+|AB|≥2+2，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=2x₂=時，△OAB周長取最小值2（1+）．
解答：解：∵的斜率k₁=，的斜率k₂=
∴k₁•k₂=-1，可得OA⊥OB
設(shè)A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）
∴|OA|==x₁，|OB|==2x₂，
可得△OAB的面積為S=|OA|×|OB|=×x₁×2x₂=1
解之，得x₁x₂=
∵|AB|²=|OA|²+|OB|²=x₁²+4x₂²
∴|AB|=≥===2
又∵|OA|+|OB|=x₁+2x₂≥2=2=2=2
∴△OAB周長|OA|+|OB|+|AB|≥2+2=2（1+）
當(dāng)且僅當(dāng)x₁=2x₂=，即x₁=，x₂=時，△OAB周長取最小值2（1+）
故答案為：，2（1+）
點評：本題給出互相垂直的射線OA、OB上兩點A、B，在已知△OAB的面積為1的情況下，求三角形周長的最小值．著重考查了直線的斜率、兩直線的位置關(guān)系和用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．