Question

（2011•靜�？h一模）定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0時(shí)有

f(m)+f(n)

m+n

＞0，則不等式f(x+

1

2

)+f(2x-1)＜0的解集是

{x|0≤x＜

1

6

}

．

Answer 1

分析：由定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0時(shí)有

f(m)+f(n)

m+n

＞0，確定函數(shù)單調(diào)遞增，再結(jié)合不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，即可求得解集．

解答：解：∵定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0時(shí)有

f(m)+f(n)

m+n

＞0，
∴m+n＞0時(shí)，f（m）+f（n）＞0或m+n＜0時(shí)，f（m）+f（n）＜0
∴m＞-n時(shí)，f（m）＞-f（n）=f（-n）或m＜-n時(shí)，f（m）＜-f（n）=f（-n）
∴定義在[-1，1]上的奇函數(shù)單調(diào)遞增
∵f(x+

1

2

)+f(2x-1)＜0
∴f(x+

1

2

)＜-f(2x-1)
∴f(x+

1

2

)＜f(-2x+1)
∴

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤-2x+1≤1 x+ 1 2 ＜-2x+1

∴0≤x＜

1

6

∴不等式的解集為{x|0≤x＜

1

6

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查解不等式，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．