Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且S_n=2a_n-1；
（1）求數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和S_n；
（2）若數(shù)列（b_n）滿足b_n=logSn+1+12•logSn+12（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．代入S_n=2a_n-1，可得S_n=2（S_n-S_n-1）-1，化為S_n+1=2（S_n-1+1）．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用對(duì)數(shù)的換底公式、裂項(xiàng)可得b_n=

1

n

-

1

n+1

．再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．
∵S_n=2a_n-1，∴S_n=2（S_n-S_n-1）-1，
化為S_n+1=2（S_n-1+1）．
∴數(shù)列{S_n+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a₁+1=2．
∴Sn+1=2×2n-1，
化為Sn=2n-1．
（2）數(shù)列（b_n）滿足b_n=logSn+1+12•logSn+12=log2n+12•log2n2=

lg2

lg2n+1

•

lg2

lg2n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的意義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的換底公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．