Question

已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）當(dāng)x＞y＞e-1時，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ），由此進行分類討論，能求出函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)．
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，知a=1，故，由此能求出實數(shù)b的取值范圍．
（Ⅲ）由，令，則只要證明g（x）在（e-1，+∞）上單調(diào)遞增，由此能夠證明．
解答：解：（Ⅰ），
當(dāng)a≤0時，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴f（x）在（0，+∞）上沒有極值點；
當(dāng)a＞0時，f'（x）＜0得，f'（x）＞0得，
∴f（x）在上遞減，在上遞增，
即f（x）在處有極小值．
∴當(dāng)a≤0時f（x）在（0，+∞）上沒有極值點，
當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，+∞）上有一個極值點．（4分）
（注：分類討論少一個扣一分．）
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴a=1，…（5分）
∴，…（6分）
令，可得g（x）在（0，e²]上遞減，在[e²，+∞）上遞增，…（8分）
∴，即．（9分）
（Ⅲ）證明：，（10分）
令，
則只要證明g（x）在（e-1，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵，
顯然函數(shù)在（e-1，+∞）上單調(diào)遞增．（12分）
∴，即g'（x）＞0，
∴g（x）在（e-1，+∞）上單調(diào)遞增，
即，
∴當(dāng)x＞y＞e-1時，有．（14分）
點評：本題考查函數(shù)的求極值點的個數(shù)的求法，考查滿足條件的實數(shù)的求法，考查不等式的證明．解題時要合理運用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，注意等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的靈活運用．