Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）的距離與到定直線l：x=-1的距離相等，點(diǎn)C在直線l上．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)過定點(diǎn)F，法向量

n

=(4，-3)的直線與（1）中的軌跡相交于A，B兩點(diǎn)，判斷∠ACB能否為鈍角并說明理由．

Answer 1

分析：（1）動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）的距離與到定直線l：x=-1的距離相等，由此能求出M的軌跡方程．
（2）直線AB的方程為4x-3y-4=0，故A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

y2=4x 4x-3y-4=0

，得A（4，4），B(

1

4

，-1)
設(shè)C（-1，y），則

CA

=(5，4-y)，

CB

=(

5

4

，-1-y)，由此知∠ACB不可能為鈍角．

解答：解：（1）動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）的距離與到定直線l：x=-1的距離相等，
所以M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，
軌跡方程為y²=4x（6分）
（2）由題意，直線AB的方程為4x-3y-4=0（8分）
故A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

y2=4x 4x-3y-4=0

得A（4，4），B(

1

4

，-1)
設(shè)C（-1，y），則

CA

=(5，4-y)，

CB

=(

5

4

，-1-y)（10分）
由

CA

•

CB

=

25

4

+(4-y)(-1-y)=(y-

3

2

)2≥0，
所以∠ACB不可能為鈍角．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法和判斷∠ACB能否為鈍角并說明理由．解題時(shí)要認(rèn)真審題，熟練掌握拋物線的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．