Question

6．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+4x-3lnx在（t，t+1）上存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（0，1）∪（2，3）．

Answer 1

分析 先求解導(dǎo)函數(shù)f′（x），再由“函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+4x-3lnx在（t，t+1）上存在極值點(diǎn)”，轉(zhuǎn)化為“f′（x）=0在區(qū)間（t，t+1）上有解”，進(jìn)而求出答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+4x-3lnx，可知x＞0，
∴f′（x）=-x+4$-\frac{3}{x}$，
∵函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+4x-3lnx在（t，t+1）上存在極值點(diǎn)，
∴f′′（x）=-x+4$-\frac{3}{x}$=0在（t，t+1）上有解
∴$\frac{{x}^{2}-4x+3}{x}$=0在（t，t+1）上有解
∴g（x）=x²-4x+3=0在（t，t+1）上有解，
由x²-4x+3=0得：x=1，或x=3，
∴1∈（t，t+1），
即t∈（0，1），
∴3∈（t，t+1），
即t∈（2，3），
故實(shí)數(shù)t的取值范圍是（0，1）∪（2，3），
故答案為：（0，1）∪（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路：當(dāng)函數(shù)是增函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于等于零恒成立，當(dāng)函數(shù)是減函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于等于零恒成立，然后轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題．注意判別式的應(yīng)用．