Question

（2013•普陀區(qū)一模）已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，a=4

3

，b=6，cosA=-

1

3

．
（1）求c；
（2）求cos(2B-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）由a，b及cosA的值，利用余弦定理列出關(guān)于c的方程，求出方程的解即可得到c的值；
（2）由cosA的值小于0，得到A為鈍角，即sinA大于0，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，再由sinA，a及b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosB的值，進而利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式求出sin2B與cos2B的值，所求式子利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：（1）在△ABC中，由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
即48=36+c²-2×c×6×（-

1

3

），
整理得：c²+4c-12=0，即（c+6）（c-2）=0，
解得：c=2或c=-6（舍去），
則c=2；
（2）由cosA=-

1

3

＜0，得A為鈍角，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
在△ABC中，由正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

，
則sinB=

bsinA

a

=

6× 2 2 3

4 3

=

6

3

，
∵B為銳角，∴cosB=

1-sin2B

=

3

3

，
∴cos2B=1-2sin²B=-

1

3

，sin2B=2sinBcosB=

2 2

3

，
則cos（2B-

π

4

）=

2

2

（cos2B+sin2B）=

2

2

×（-

1

3

+

2 2

3

）=

4- 2

6

．

點評：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．