已知函數(shù)f(x)=ax+lnx(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)g(x)=x2-2x+2,若對任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
分析:(1)先求f(x)的導(dǎo)數(shù),再對參數(shù)a進行討論,利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)值的正負,從而可求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對任意x
1∈(0,+∞),均存在x
2∈[0,1],使得f(x
1)<g(x
2),等價于f(x)
max<g(x)
max,分別求出相應(yīng)的最大值,即可求得實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)
…(2分)
當a≥0時,由于x∈(0,+∞),f′(x)>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞),…(4分)
當a<0時,令f'(x)=0,得
.
當x變化時,f'(x)與f(x)變化情況如下表:
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,
),函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為
…(6分)
(2)由已知,轉(zhuǎn)化為f(x)
max<g(x)
max…(8分)
因為g(x)=x
2-2x+2=(x-1)
2+1,x∈[0,1],
所以g(x)
max=2…(9分)
由(Ⅱ)知,當a≥0時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,值域為R,故不符合題意.
(或者舉出反例:存在f(e
3)=ae
3+3>2,故不符合題意.) …(10分)
當a<0時,f(x)在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,
故f(x)的極大值即為最大值,
,…(11分)
所以2>-1-ln(-a),解得
.…(12分)
點評:本題重點考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的最值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性