Question

17．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，左焦點F₁到直線$x=-\frac{a^2}{c}$的距離為3，圓N的方程為（x-c）²+y²=a²+c²（c為半焦距），直線l：y=kx+m（k＞0）與橢圓M和圓N均只有一個公共點，分別設(shè)為A，B．
（1）求橢圓M的方程和直線l的方程；
（2）在圓N上是否存在點P，使$\frac{|PB|}{|PA|}=2\sqrt{2}$，若存在，求出P點坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，左焦點F₁到直線$x=-\frac{a^2}{c}$的距離為3，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓M的方程；由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判別式、點到直線距離公式能求出直線l的方程．
（2）將k=$\frac{1}{2}$，m=2代入，得A（-1，$\frac{3}{2}$），過切點B的半徑所在的直線l′：y=-2x+2，與直線l的方程聯(lián)立得B（0，2），設(shè)P（x₀，y₀），由$\frac{|PB|}{|PA|}$=2$\sqrt{2}$，得7${{x}_{0}}^{2}$+7${{y}_{0}}^{2}$+16x₀-20y₀+22=0，再由P（x₀，y₀）滿足${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-2{x}_{0}$=4，能求出存在P（-1，1）或P（-$\frac{9}{13}$，$\frac{19}{13}$）滿足條件．

解答 解：（1）∵橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，左焦點F₁到直線$x=-\frac{a^2}{c}$的距離為3，
∴由題意知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=3}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1．…（1分）
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴橢圓M的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，…（2分）
圓N的方程為（x-1）²+y²=5，
∵直線l：y=kx+m（k＞0）與橢圓M只有一個公共點，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，①
∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，
整理得m²=3+4k²，②…（5分）
由直線l：y=kx+m與N只有一個公共點，得$\frac{|k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，即k²+2km+m²=5+5k²，③
將②代入③得km=1，④由②④得k=$\frac{1}{2}$，m=2．
∴直線l：y=$\frac{1}{2}$x+2．…（7分）
（2）將k=$\frac{1}{2}$，m=2代入①可得A（-1，$\frac{3}{2}$），
又過切點B的半徑所在的直線l′：y=-2x+2，
與直線l的方程聯(lián)立得B（0，2），…（8分）
設(shè)P（x₀，y₀），由$\frac{|PB|}{|PA|}$=2$\sqrt{2}$，得$\frac{{x_0^2+{{（{y_0}-2）}^2}}}{{{{（{x_0}+1）}^2}+{{（{y_0}-\frac{3}{2}）}^2}}}=8$，
化簡得7${{x}_{0}}^{2}$+7${{y}_{0}}^{2}$+16x₀-20y₀+22=0，⑤…（10分）
又P（x₀，y₀）滿足${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-2{x}_{0}$=4，⑥
將⑤-7×⑥并整理得3x₀-2y₀+5=0，
即y₀=$\frac{3x0+5}{2}$，⑦
將⑦代入⑥并整理得13${{x}_{0}}^{2}$+22x₀+9=0，
解得x₀=-1或x₀=-$\frac{9}{13}$，…（11分）
所以存在P（-1，1）或P（-$\frac{9}{13}$，$\frac{19}{13}$）滿足條件．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程、直線方程的求法，考查滿足條件的點的坐標(biāo)的求法，考查橢圓、韋達定理、直線方程、點到直線距離公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．