Question

13．已知a＞0，b＞0，且$\sqrt{3}$是3^a與3^b的等比中項，若$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$≥2m²+3m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是[-3，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 運用等比中項的定義，可得a+b=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）=1+4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$，運用基本不等式可得最小值9，再由不等式恒成立可得2m²+3m≤9，解不等式可得m的范圍．

解答 解：a＞0，b＞0，且$\sqrt{3}$是3^a與3^b的等比中項，
可得3^a•3^b=（$\sqrt{3}$）²，
即有a+b=1，
$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）=1+4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$=5+4=9，
當且僅當b=2a=$\frac{2}{3}$時，取得等號，即最小值為9．
由$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$≥2m²+3m恒成立，可得2m²+3m≤9，
解得-3≤m≤$\frac{3}{2}$．
故答案為：[-3，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，以及等比中項的定義，考查基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．