【題目】已知橢圓C： 的右焦點為F，右頂點為A，設(shè)離心率為e，且滿足，其中O為坐標原點．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點的直線l與橢圓交于M，N兩點，求△OMN面積的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)，解得c值，即可得橢圓的方程；

（Ⅱ）聯(lián)立l與橢圓C的方程，得,

得， ．所以，又O到l的距離．所以△OMN的面積求最值即可.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦半距為c，則|OF| = c，|OA| = a，|AF| = ．

所以，其中，又，聯(lián)立解得， ．

所以橢圓C的方程是．

（Ⅱ）由題意直線不能與x軸垂直，否則將無法構(gòu)成三角形．

當直線l與x軸不垂直時，設(shè)其斜率為k，那么l的方程為．

聯(lián)立l與橢圓C的方程，消去y，得．

于是直線與橢圓有兩個交點的充要條件是Δ=，這顯然大于0．

設(shè)點， ．

由根與系數(shù)的關(guān)系得， ．所以，又O到l的距離．

所以△OMN的面積． ，那么，當且僅當t = 3時取等．

所以△OMN面積的最大值是．

點睛:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3000元，2000元．甲、乙產(chǎn)品都需要在A、B兩種設(shè)備上加工，在每臺A、B設(shè)備上加工一件甲所需工時分別為1，2，加工一件乙設(shè)備所需工時分別為2，1．A、B兩種設(shè)備每月有效使用臺時數(shù)分別為400和500，分別用表示計劃每月生產(chǎn)甲，乙產(chǎn)品的件數(shù)．

（Ⅰ）用列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；

（Ⅱ）問分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少件，可使收入最大？并求出最大收入．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義域為的單調(diào)遞減的奇函數(shù)，當時， .

（1）求的值；

（2）求的解析式；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標系xOy中，曲線C：(x－1)2＋y2＝1.直線l經(jīng)過點P(m，0)，且傾斜角為，以O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系．

(1)寫出曲線C的極坐標方程與直線l的參數(shù)方程；

(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|PA|·|PB|＝1，求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|2x－a|＋a，x∈R.

(1)當a＝3時，求不等式f(x)>7的解集；

(2)對任意x∈R恒有f(x)≥3，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：

年齡（歲）

19

24

26

30

34

35

40

合計

工人數(shù)（人）

1

3

3

5

4

3

1

20

（1）求這20名工人年齡的眾數(shù)與平均數(shù)；

（2）以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；

（3）從年齡在24和26的工人中隨機抽取2人，求這2人均是24歲的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若，求的極值；

（Ⅱ）若對于任意的，，都有，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】求下列各式的值：

（1）；

（2）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

日 期

12月1日

12月2日

12月3日

12月4日

12月5日

溫差（°C）

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)（顆）

23

25

30

26

16

該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗．

（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；

（2）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

（3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？

（注： ）

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