考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由2S
n=a
n+1-2
n+1+1,n∈N
*,分別取n=1,2時(shí),可得a
2=2a
1+3,a
3=6a
1+13.利用a
1,a
2+5,a
3成等差數(shù)列,即可得出;
(2)當(dāng)n≥2時(shí),2a
n=2S
n-2S
n-1,化為
an+1=3an+2n,變形
an+1+2n+1=3(an+2n),利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;
(3)由
an=3n-2n≥3
n-1.可得
≤,再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.
解答:
(1)解:∵2S
n=a
n+1-2
n+1+1,n∈N
*,
∴n=1,2時(shí),2a
1=a
2-3,2a
1+2a
2=a
3-7,
∴a
2=2a
1+3,a
3=6a
1+13.
∵a
1,a
2+5,a
3成等差數(shù)列,
∴2(a
2+5)=a
1+a
3,
∴2(2a
1+8)=a
1+6a
1+13,
解得a
1=1.
(2)解:當(dāng)n≥2時(shí),2a
n=2S
n-2S
n-1=
an+1-2n+1+1-(an-2n+1),化為
an+1=3an+2n,
∴
an+1+2n+1=3(an+2n),a
1+2=3.
∴數(shù)列
{an+2n}是等比數(shù)列,
∴
an+2n=3n,
∴
an=3n-2n.
(3)證明:∵
an=3n-2n≥3
n-1.
∴
≤,
∴
+
+…+
≤1+++…+
=
=
(1-)<.
點(diǎn)評(píng):本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推式的應(yīng)用、“放縮法”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.