如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長為
2
的正方形,AA1=3,點(diǎn)E在棱B1B上運(yùn)動(dòng).
(Ⅰ)證明:AC⊥D1E;
(Ⅱ)若三棱錐B1-A1D1E的體積為
2
3
時(shí),求異面直線AD,D1E所成的角.
考點(diǎn):異面直線及其所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(Ⅰ)首先,連結(jié)BD,可以首先,證明AC⊥平面B1BDD1,然后,得到AC⊥D1E;
(Ⅱ)首先,可以得到∠A1D1B1為異面直線AD,D1E所成的角,然后,根據(jù)ED1=2
2
,求解得到,∠A1D1E=60°.
解答: 解:(Ⅰ)如下圖所示:

連接BD,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直棱柱,
∴B1B⊥平面ABCD,
∵AC?平面ABCD,
∴B1B⊥AC,
∴AC⊥平面B1BDD1
∵D1E?平面B1BDD1
∴AC⊥D1E.

(Ⅱ)∵VB1-A1D 1E=VE-A1B 1D1,EB1⊥平面A1B1C1D1
VE-A1B 1D1=
1
3
SA1B1D1•EB1

SA1B1D1=
1
2
A1B1A1D1=1
,
VE-A1B 1D1=
1
3
EB1=
2
3

∴EB1=2.∵AD∥A1D1
∴∠A1D1B1為異面直線AD,D1E所成的角.
在Rt△EB1D1中,求得ED1=2
2

∵D1A1⊥平面A1ABB1,
∴D1A1⊥A1E.
在Rt△EB1D1中,得
cos∠A1D1E=
2
2
2
=
1
2
,
∴∠A1D1E=60°.
∴異面直線AD,D1E所成的角為60°.
點(diǎn)評:本題重點(diǎn)考查了線面垂直、線線垂直的判定與性質(zhì)、異面直線所成的角等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A(-1,-3),B(1,1)求直線AB與直線x+y-5=0的交點(diǎn)C的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ax+b(x2+1)log2x
1+x2
有最大值2,其中a,b為常數(shù),則a+b的值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

圖1和圖2中的四邊形ABCD和AEFG都是正方形.
(1)如圖1,連結(jié)DE、BG,M為線段BG的中點(diǎn),連結(jié)AM,探究AM與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)在圖1的基礎(chǔ)上,將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,連結(jié)DE、BG,M為線段BG的中點(diǎn),連結(jié)AM,探究AM與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

cos40°+cos60°+cos80°+cos160°=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知周期為4的函數(shù)f(x)=
m
1-x2
,(-1≤x≤1)
1-|x-2|,(1<x≤3)
,其中m>0,若關(guān)于x的方,3f(x)=x恰有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解,則m的取值范圍是( 。
A、(
15
3
,
7
B、(
4
3
,
7
C、(
4
3
,
5
3
D、(
15
3
,3)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(1-x,1-x,x),
b
=(2,x,x)(x∈R),則|
a
-
b
|的最小值是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=sin(
x
3
+
φ
3
)(φ∈(0,2π])是偶函數(shù),則φ=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)與曲線x2+y2=a2-b2恒有公共點(diǎn),則橢圓離心率e的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案