Question

已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P（4，0）．
（1）設(shè)Q是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最小值；
（2）過點(diǎn)P的直線l與拋物線C交于M、N兩點(diǎn)，若△FMN的面積為6

5

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）設(shè)Q（x，y），則PQ|=

(x-4)2+y2

=

(x-4)2+4x

=

(x-2)2+12

，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（II）設(shè)直線l：x=my+4，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答： 解：（I）設(shè)Q（x，y），則PQ|=

(x-4)2+y2

=

(x-4)2+4x

=

(x-2)2+12

，
當(dāng)x=2時(shí)，|PQ|_min=2

3

．
（II）設(shè)直線l：x=my+4，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），焦點(diǎn)F（1，0）．
聯(lián)立

x=my+4 y2=4x

，消去x得y²-4my-16=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16．
∴S_△FMN=

1

2

|PF|•|y1-y2|=

1

2

×3×

(y1+y2)2-4y1y2

=

3

2

×

(4m)2+64

=6

m2+4

=6

5

，
∴m=±1，
∴直線l的方程為：x±y-4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形面積計(jì)算公式、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．