Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=1．
（1）求實數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若b＞0，f（x）≥（b-1）x+c，求b²c的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（0）=0，求出a的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為e^x-bx≥c，令g（x）=e^x-bx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，得到b²c≤b³-b³lnb，令h（b）=b³-b³lnb，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其最大值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，+∞），
因為f'（x）=e^x+a，由已知得f'（0）=0，∴a=-1，
當x＞0時，f'（x）=e^x-1＞0，當x＜0時，f'（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）．
（2）不等式f（x）≥（b-1）x+c轉(zhuǎn)化為e^x-bx≥c，
令g（x）=e^x-bx，g'（x）=e^x-b，由g'（x）＞0得，x＞lnb，g'（x）＜0得x＜lnb，
所以函數(shù)g（x）在（-∞，lnb）上為減函數(shù)，在（lnb，+∞）上為增函數(shù)，
所以g（x）_min=g（lnb）=b-blnb，∴c≤b-blnb，∴b²c≤b³-b³lnb，
令h（b）=b³-b³lnb，則h'（b）=b²（2-3lnb），
由h'（b）＞0得$0＜b＜{e^{\frac{2}{3}}}，h'（b）＜0$得$b＞{e^{\frac{2}{3}}}$，
所以函數(shù)h（b）在$（{0，{e^{\frac{2}{3}}}}）$上為增函數(shù)，在（${e}^{\frac{2}{3}}$，+∞）上為減函數(shù)，
所以h（b）的最大值為h（${e}^{\frac{2}{3}}$）=$\frac{1}{3}$e²，此時b=${e}^{\frac{2}{3}}$，
所以b²c的最大值為$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{2}{3}}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．