Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x，若存在a∈[0，4]，使得關于x的方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A、（1，

  9

  8

  ）
• B、（1，

  3

  2

  ）
• C、（

  9

  8

  ，

  3

  2

  ）
• D、（1，

  5

  4

  ）

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：當-2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數(shù)，則關于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不等的實數(shù)根存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個不相等的實根，則2ta∈（2a，

(a+2)2

4

），即存在a∈（2，4]，使得t∈（1，

(a+2)2

8a

）即可，由此可證出實數(shù)t的取值范圍為（1，

9

8

）．

解答： 解：當0≤a≤2時，f（x）在R上是增函數(shù)，則關于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不等的實數(shù)根；
則當a∈（2，4]時，由f（x）=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

，
得x≥a時，f（x）=x²+（2-a）x對稱軸x=

a-2

2

＜a，
則f（x）在x∈[a，+∞）為增函數(shù)，此時f（x）的值域為[f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a時，f（x）=-x²+（2+a）x對稱軸x=

a+2

2

＜a，
則f（x）在x∈（-∞，

a+2

2

）為增函數(shù)，此時f（x）的值域為（-∞，

(a+2)2

4

），
f（x）在x∈[

a+2

2

，a）為減函數(shù)，此時f（x）的值域為（2a，

(a+2)2

4

）；
由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個不相等的實根，則2ta∈（2a，

(a+2)2

4

），
即存在a∈（2，4]，使得t∈（1，

(a+2)2

8a

）即可，令g（a）=

(a+2)2

8a

，
只要使t＜（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函數(shù)，g（a）_max=g（4）=

9

8

，
故實數(shù)t的取值范圍為（1，

9

8

）．

點評：本題考查函數(shù)性質的綜合應用，解題時要認真審題．