Question

6．計(jì)算：${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$-x）dx=$\frac{π-2}{4}$．

Answer 1

分析 先利用定積分的幾何意義計(jì)算${∫}_{0}^{1}\sqrt{2x-{x}^{2}}$dx，即求被積函數(shù)y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$與直線x=0，x=1所圍成的圖形的面積即可，再求出${∫}_{0}^{1}$（-x）dx，問(wèn)題得以解決．

解答 解：由定積分的幾何意義知${∫}_{0}^{1}\sqrt{2x-{x}^{2}}$dx是由y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$與直線x=0，x=1所圍成的圖形的面積，
即是以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓的面積的$\frac{1}{4}$，
故${∫}_{0}^{1}\sqrt{2x-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，
${∫}_{0}^{1}$（-x）dx=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$${|}_{0}^{1}$=$-\frac{1}{2}$，
∴${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$-x）dx=$\frac{π-2}{4}$．
故答案為：$\frac{π-2}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查定積分、定積分的幾何意義、圓的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．