Question

8根繩子a、b、c、d、e、f、g、h，每根有2端，分別為a₁、a₂、b₁、b₂…把數(shù)字為1的隨機(jī)選取2個(gè)系在一起，重復(fù)4次，數(shù)字為2的，隨機(jī)選取2個(gè)系在一起，重復(fù)4次．
（1）求形成1個(gè)環(huán)，2個(gè)環(huán)，3個(gè)環(huán)，4個(gè)環(huán)的概率；
（2）如果把16端隨機(jī)選2個(gè)系在一起，重復(fù)8次，求可能出現(xiàn)的環(huán)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）求出所有的事件個(gè)數(shù)，并求出1個(gè)環(huán)，2個(gè)環(huán)，3個(gè)環(huán)，4個(gè)環(huán)的事件個(gè)數(shù)，比較即可．
（2）由（1）類比可知，可能出現(xiàn)的環(huán)數(shù)有8種．

解答： 解：（1）每一端的系法有

c 2 8 • c 2 6 • c 2 4 • c 2 2

4!

=105種，
不妨先把2端的全部系在一起，則8根繩子變?yōu)?根只有1端的繩子，此時(shí)只討論1端的系法，總數(shù)變?yōu)?05．
1環(huán)：4根繩子首尾相接，

c

1 6

×

c

1 4

×

c

1 2

=48，
∴P（ξ=1）=48/105=16/35；
2環(huán)：環(huán)中繩子數(shù)（1，3），（2，2）．則（1，3）：

c

1 4

×

c

1 4

×

c

1 2

=32，（2，2）：

c 2 4 × c 1 2 × c 1 2

2!

=12，
∴P（ξ=2）=

44

105

，
3環(huán)：只有（2，1，1）：

c

2 4

×

c

1 2

×

c

1 2

÷（2!）=12，
∴P（ξ=3）=

12

105

=

4

35

；
4環(huán)：只有（1，1，1，1）：1，
∴P（ξ=4）=

1

105

．
（2）只是簡(jiǎn)單的8線成環(huán)問題，不如把每根線看為單位1，就可以拼出周長(zhǎng)為1，2，3，4，5，6，7，8的環(huán)，所以出現(xiàn)的環(huán)數(shù)也為1，2，3，4，5，6，7，8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本事件數(shù)的計(jì)算，同時(shí)考查了概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．