Question

1．已知不等式a+2b+18＞（m²-m）（$\sqrt{a}$+2$\sqrt$）對任意正數(shù)a，b都成立，則實數(shù)m的取值范圍是（-2，3）．

Answer 1

分析 將原不等式化為m²-m＜$\frac{a+2b+18}{\sqrt{a}+2\sqrt}$，利用基本不等式得a+2b+18=（a+9）+2（b+9）≥2$\sqrt{9a}$+2×2$\sqrt{9b}$=6（$\sqrt{a}$+2$\sqrt$），求出$\frac{a+2b+18}{\sqrt{a}+2\sqrt}$的最小值，再求出m的范圍．

解答 解：原不等式化為：m²-m＜$\frac{a+2b+18}{\sqrt{a}+2\sqrt}$對任意正數(shù)a，b都成立，
因為a+2b+18=（a+9）+2（b+9）
≥2$\sqrt{9a}$+2×2$\sqrt{9b}$=6（$\sqrt{a}$+2$\sqrt$），
當且僅當a=b=9時取等號，
所以$\frac{a+2b+18}{\sqrt{a}+2\sqrt}$≥6，
即當a=b=9時$\frac{a+2b+18}{\sqrt{a}+2\sqrt}$的最小值是6，
所以m²-m＜6，則m²-m-6＜0，解得-2＜m＜3，
則實數(shù)m的取值范圍是（-2，3），
故答案為：（-2，3）．

點評 本題考查不等式的性質(zhì)，基本不等式的靈活應用求最值，以及恒成立問題，屬中檔題．