Question

為了綠化城市，準(zhǔn)備在如圖所示的區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC，RQ⊥BC，另外△AEF的內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)．AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m．     
（1）求直線EF的方程．
（2）應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪的占地面積最大？

Answer 1

分析：（1）建立平面直角坐標(biāo)系，直線EF過(guò)點(diǎn)E（30，0），F(xiàn)（0，20），其方程由截距式可得；
（2）點(diǎn)Q在直線EF上，可設(shè)點(diǎn)Q（x，20-

2

3

x），矩形PQRC的面積S=（100-x）•[80-（20-

2

3

x）]，計(jì)算S取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值，從而得點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）建立坐標(biāo)系如圖所示，在線段EF上任取一點(diǎn)Q，分別向BC，CD作垂線．
由題意，直線EF的方程為：

x

30

+

y

20

=1；
（2）設(shè)Q（x，20-

2

3

x），則矩形PQRC的面積為：S=（100-x）•[80-（20-

2

3

x）]（其中0≤x≤30）；
化簡(jiǎn)，得S=-

2

3

x²+

20

3

x+6000  （其中0≤x≤30）；
所以，當(dāng)x=-

20 3

2×( - 2 3 )

=5時(shí)，此時(shí)y=20-

2

3

×5=

50

3

，即取點(diǎn)Q（5，

50

3

）時(shí)，S有最大值，最大值為6016

2

3

m²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線方程和二次函數(shù)模型的應(yīng)用，利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸求最大值時(shí)，要考慮對(duì)稱軸是否在定義域內(nèi)．