Question

11．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，$f（x）=\frac{{{a^x}-1}}{a^x}$，其中a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關(guān)于x的不等式-1＜f（x-1）＜4．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的奇偶性和整體思想可得函數(shù)解析式；
（2）原不等式等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}x-1＜0\\-1＜-{a^{-x+1}}+1＜4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x-1≥0\\-1＜{a^{x-1}}-1＜4\end{array}\right.$，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性對(duì)a分類討論可得．

解答 解：（1）由題意可得奇函數(shù)f（x）滿足當(dāng)x＜0時(shí)，$f（x）=\frac{{{a^x}-1}}{a^x}$=1-a^-x，
則當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，故f（x）=-f（-x）=-（1-a^x）=a^-x-1，
又由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，
∴所求的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{a^x}-1，x≥0\\-{a^{-x}}+1，x＜0.\end{array}\right.$；
（2）原不等式等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}x-1＜0\\-1＜-{a^{-x+1}}+1＜4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x-1≥0\\-1＜{a^{x-1}}-1＜4\end{array}\right.$
化簡(jiǎn)可得$\left\{\begin{array}{l}x-1＜0\\-3＜{a^{-x+1}}＜2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x-1≥0\\ 0＜{a^{x-1}}＜5.\end{array}\right.$
當(dāng)a＞1時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}x＜1\\ x＞1-{log_a}2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ x＜1+{log_a}5\end{array}\right.$，
∵此時(shí)log_a2＞0，log_a5＞0，
∴不等式的解集為（1-log_a2，1+log_a5）．
同理可得，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為R．
綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為（1-log_a2，1+log_a5）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)對(duì)數(shù)不等式的解法，涉及分類討論思想和函數(shù)的單調(diào)性奇偶性，屬中檔題．