Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1 x      x＞0 ex    x≤0

，F(xiàn)（x）=f（x）+x，x∈R．F（x）的值域?yàn)椋ā　。?/div>

A．（-∞，1]

B．[2，+∞）

C．（-∞，1]∪[2，+∞）

D．（-∞，1）∪（2，+∞）

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分析：先求出函數(shù)F（x）的解析式，當(dāng)x＞0時(shí)可利用基本不等式求出值域，當(dāng)x≤0時(shí)可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域，從而求出所求．

解答：解：∵f（x）=

1 x      x＞0 ex    x≤0

，F(xiàn)（x）=f（x）+x，
∴F（x）=

1 x +x     x＞0 ex+x    x≤0

，
當(dāng)x＞0時(shí)，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)x≤0時(shí)，
∵（e^x+x）′=e^x+1＞0，
∴e^x+x在（-∞，0]上單調(diào)遞增，
∴e^x+x≤1，
綜上所述：F（x）的值域?yàn)椋?∞，1]∪[2，+∞）．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)求值域，以及利用不等式求值域和利用導(dǎo)數(shù)求值域，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．

Answer 1

分析：先求出函數(shù)F（x）的解析式，當(dāng)x＞0時(shí)可利用基本不等式求出值域，當(dāng)x≤0時(shí)可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域，從而求出所求．

解答：解：∵f（x）=

1 x      x＞0 ex    x≤0

，F(xiàn)（x）=f（x）+x，
∴F（x）=

1 x +x     x＞0 ex+x    x≤0

，
當(dāng)x＞0時(shí)，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)x≤0時(shí)，
∵（e^x+x）′=e^x+1＞0，
∴e^x+x在（-∞，0]上單調(diào)遞增，
∴e^x+x≤1，
綜上所述：F（x）的值域?yàn)椋?∞，1]∪[2，+∞）．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)求值域，以及利用不等式求值域和利用導(dǎo)數(shù)求值域，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．