設函數(shù)f(x)=a-
22x+1
，
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)及此時f（x）的值域．
分析：（1）∵f（x）的定義域為R，任設x1＜x2，化簡f（x1）-f（x2）到因式乘積的形式，判斷符號，得出結(jié)論．
（2）由f（-x）=-f（x），解出a的值，進而得到函數(shù)的解析式：f(x)=1-
2
2x+1
．
由 2x+1＞1，可得函數(shù)的值域．
解答：解：（1）∵f（x）的定義域為R，設 x1＜x2，
則f(x1)-f(x2)=a-
2
2x1+1
-a+
2
2x2+1
=
2•(2x1-2x2)
(1+2x1)(1+2x2)
，
∵x1＜x2，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)．
（2）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
即a-
2
2-x+1
=-a+
2
2x+1
，
解得：a=1．∴f(x)=1-
2
2x+1
．
∵2x+1＞1，∴0＜
2
2x+1
＜2，
∴-2＜-
2
2x+1
＜0，∴-1＜f(x)＜1
所以f（x）的值域為（-1，1）．
點評：本題考查證明函數(shù)的單調(diào)性的方法、步驟，利用奇函數(shù)的定義求待定系數(shù)的值，及求函數(shù)的值域．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=a?b，其中向量
a
=（m，cos2x），
b
=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的圖象經(jīng)過點(
π
4
，2)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求f（x）的最小正周期．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=a-
22x+1
，
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=
(a-2)x，(x≥2)
(
1
2
)
x
 
-1，(x＜2)
，an=f(n)，若數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
2
，-2)，
b
=(sin(
π
4
+2x)，cos2x)（x∈R）．設函數(shù)f(x)=
a
•
b

（1）求f(-
π
4
)的值；     
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=(5
3
cosx，cosx)，
b
=(sinx，2cosx)，其中x∈[
π
6
，
π
2
]，設函數(shù)f(x)=
a
•
b
+|
b
|2+
3
2
．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；        
（2）若f（x）=5，求x的值．

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