Question

（2013•房山區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=（ax-2）e^x在x=1處取得極值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[m，m+1]上的最小值；
（Ⅲ）求證：對(duì)任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)f′（x），由題意得f′（1）=0，可得a值，代入檢驗(yàn)即可；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，按極值點(diǎn)在區(qū)間[m，m+1]的左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)三種情況進(jìn)行即可求得其最小值；
（Ⅲ）對(duì)任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e，等價(jià)于|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）≤e．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的最大值、最小值問(wèn)題，用導(dǎo)數(shù)易求；

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=ae^x+（ax-2）e^x=（ax+a-2）e^x，
由已知得f'（1）=0，即（2a-2）e=0，
解得：a=1，
驗(yàn)證知，當(dāng)a=1時(shí)，在x=1處函數(shù)f（x）=（x-2）e^x取得極小值，所以a=1；
（Ⅱ）f（x）=（x-2）e^x，f'（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	減		增

所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在[m，m+1]上單調(diào)遞增，f_min（x）=f（m）=（m-2）e^m．
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，m＜1＜m+1，f（x）在[m，1]上單調(diào)遞減，在[1，m+1]上單調(diào)遞增，f_min（x）=f（1）=-e．
當(dāng)m≤0時(shí)，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]單調(diào)遞減，fmin(x)=f(m+1)=(m-1)em+1．
綜上，f（x）在[m，m+1]上的最小值fmin(x)=

(m-2)em， m≥1 -e， 0＜m＜1 (m-1)em+1， m≤0

（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x-2）e^x，f'（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．
令f'（x）=0得x=1，
因?yàn)閒（0）=-2，f（1）=-e，f（2）=0，
所以f_max（x）=0，f_min（x）=-e，
所以，對(duì)任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）=e，

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化思想，關(guān)于恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題解決．