Question

已知向量

m

=（-1，cosωx+

3

sinωx），

n

=（f（x），cosωx），其中ω＞0，且

m

⊥

n

，又函數(shù)f（x）的圖象任意兩相鄰對(duì)稱軸間距為

3

2

π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）設(shè)α是第一象限角，且f（

3

2

α+

π

2

）=

23

26

，求

sin(α+ π 4 )

cos(4π+2α)

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標(biāo)，利用兩向量垂直時(shí)的條件列出關(guān)系式，整理后根據(jù)題意得出周期，利用周期公式求出ω的值即可；
（Ⅱ）由ω的值確定出f（x）解析式，化簡(jiǎn)已知等式求出cosα的值，進(jìn)而求出sinα的值，原式化簡(jiǎn)后代入計(jì)算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（-1，cosωx+

3

sinωx），

n

=（f（x），cosωx），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，
∴f（x）=cosωx（cosωx+

3

sinωx）=

1

2

（1+cos2ωx+

3

sinωx）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，
根據(jù)題意知，函數(shù)f（x）的最小正周期為3π，又ω＞0，
則ω=

1

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（

2

3

x+

π

6

）+

1

2

，
∴f（

3

2

α+

π

2

）=sin（α+

π

2

）+

1

2

=cosα+

1

2

=

23

26

，
解得：cosα=

5

13

，
∵α是第一象限角，∴sinα=

12

13

，
則原式=

sin(α+ π 4 )

cos2α

=

2 2 (sinα+cosα)

(cosα+sinα)(cosα-sinα)

=

2

2(cosα-sinα)

=-

13 2

14

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．