Question

14．給出以下四個(gè)選項(xiàng)，正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①函數(shù)f（x）=sin2xcosx的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng)
②函數(shù)y=3•2^x+1的圖象可以由函數(shù)y=2^x的圖象僅通過(guò)平移得到．
③函數(shù)y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cosx}{1+cosx}$與y=lntan$\frac{x}{2}$是同一函數(shù)．
④在△ABC中，若$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{3}$=$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}}{2}$=$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}}{1}$，則tanA：tanB：tanC=3：2：1．

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 0個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)變換，分析函數(shù)f（x）=sin2xcosx的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng)后的函數(shù)解析式與原函數(shù)解析式的關(guān)系，可判斷①；
根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及函數(shù)圖象平移變換法則，可判斷②；
分析兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否一致，可判斷③；
根據(jù)已知結(jié)合向量數(shù)量積的定義及正弦定理的邊角互化，求出tanA：tanB：tanC的值，可判斷④

解答 解：①函數(shù)f（x）=sin2xcosx的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng)變換后的解析式為：f（x）=sin2（2π-x）cos（2π-x）=sin（4π-2x）cos（2π-x）=-sin2xcosx，
x=π不是函數(shù)f（x）=sin2xcosx的圖象的對(duì)稱(chēng)軸，故①錯(cuò)誤；
②函數(shù)y=3•2^x+1=${2}^{x+{log}_{2}3}+1$的圖象可以由函數(shù)y=2^x的圖象向左平移log₂3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到，故②正確；
③函數(shù)y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cosx}{1+cosx}$=$\frac{1}{2}$ln$\frac{（1-cosx）（1+cosx）}{{（1+cosx）}^{2}}$=$\frac{1}{2}$ln$\frac{{sin}^{2}x}{{（1+cosx）}^{2}}$=$\frac{1}{2}$ln${tan}^{2}\frac{x}{2}$=lntan$\frac{x}{2}$，
但函數(shù)y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cosx}{1+cosx}$的定義域與函數(shù)y=lntan$\frac{x}{2}$的定義域不同，
故兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)，故③錯(cuò)誤；
④在△ABC中，若$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{3}$=$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}}{2}$=$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}}{1}$，
則$\frac{accosB}{3}=\frac{abcosC}{2}=bccosA$，
則$\frac{sinAsicCcosB}{3}=\frac{sinAsinBcosC}{2}=sinBsinCcosA$，
則2tanC=3tanB且tanA=2tanC，
則tanA：tanB：tanC=6：2：3，故④錯(cuò)誤．
故正確的命題的個(gè)數(shù)是1個(gè)，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類(lèi)題型往往綜合較多的其它知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度中檔．