Question

9．給出下列命題：①存在實(shí)數(shù)α，使sinαcosα=1，②函數(shù)y=sin（$\frac{3π}{2}$+x）是偶函數(shù)；③直線x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）的一條對(duì)稱軸；④若α、β是第一象限的角，且α＞β，則sinα＞sinβ．
其中正確命題的序號(hào)是②③．

Answer 1

分析 求出sinαcosα取值的范圍，可判斷①；根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，進(jìn)而根據(jù)余弦型函數(shù)的和性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)正弦型函數(shù)的對(duì)稱性，可判斷③；舉出反例α=390°、β=45°，可判斷④．

解答 解：①sinαcosα=$\frac{1}{2}$sin2α∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，1∉[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，故不存在實(shí)數(shù)α，使sinαcosα=1，故①錯(cuò)誤；
②函數(shù)y=sin（$\frac{3π}{2}$+x）=-cosx，滿足f（-x）=f（x），是偶函數(shù)，故②正確；
③由2x+$\frac{5π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z得：x=-$\frac{3π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，當(dāng)k=1時(shí)，直線x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）的一條對(duì)稱軸，故③正確；
④α=390°、β=45°是第一象限的角，且α＞β，但sinα=$\frac{1}{2}$＜sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故④錯(cuò)誤．
故正確的命題的序號(hào)是：②③，
故答案為：②③

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類題型往往綜合較多的其它知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度中檔．