Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-ax²-ax，g（x）=2x²+4x+c
（Ⅰ）試問(wèn)函數(shù)f（x）能否在x=-1時(shí)取得極值？說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若a=-1，當(dāng)x∈[-3，4]時(shí)，方程f（x）=g（x）有二個(gè)不等實(shí)根，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，先假設(shè)存在極值，得出矛盾即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為c=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x有2個(gè)不等實(shí)根，設(shè)F（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，G（x）=c，通過(guò)求導(dǎo)得到函數(shù)f（x）的最值，從而判斷出c的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意f′（x）=x²-2ax-a，
假設(shè)在x=-1時(shí)f（x）取得極值，則有f′（-1）=1+2a-a=0，∴a=-1，
而此時(shí)，f′（x）=（x+1）²≥0，函數(shù)f（x）在x=-1處無(wú)極值；
（Ⅱ）f（x）=g（x），則有$\frac{1}{3}$x³-x²-3x-c=0，
∴c=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，
設(shè)F（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，G（x）=c，
令F′（x）=x²-2x-3=0，解得x=-1或x=3，
列表如下：

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，4）	4
F′（x）		+	0	-	0	+
F（x）	-9	增	$\frac{5}{3}$	減	-9	增	-$\frac{20}{3}$

由此可知：F（x）在（-3，1），（3，4）上是增函數(shù)，在（-1，3）上是減函數(shù)，
當(dāng)x=-1時(shí)，F(xiàn)（x）取得極大值F（-1）=$\frac{5}{3}$；當(dāng)x=3時(shí)，F(xiàn)（x）取得極小值，
F（-3）=F（3）=-9，而F（4）=-$\frac{20}{3}$，
所以-$\frac{20}{3}$＜c＜$\frac{5}{3}$或c=-9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，是一道中檔題．