Question

已知：數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a₁=1，當n∈N⁺時，S_n=a_n-n-1．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n，并用數(shù)學歸納法證明你的猜想；
（3）已知，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵a₁=1，當n∈N⁺時，S_n=a_n-n-1
∴S₂=a₂-3，∴a₂=3；S₃=a₃-4，∴a₃=7；S₄=a₄-5，∴a₄=15
（2）猜想
證明：當n=1時，經驗證成立
假設當n=k，（k≥1）時結論成立，即
則當n=k+1時，有s_k=a_k+1-k-1；s_k-1=a_k-（k-1）-1，
兩式相減得到a_k=a_k+1-a_k-1，∴a_k+1=2a_k+1，∴
所以當n=k+1時，結論成立
綜上所述：
（3），即
則，得到
∴
∴-3＜a＜-1
分析：（1）根據(jù)a₁=1，當n∈N⁺時，S_n=a_n-n-1，可求得a₂，a₃，a₄；
（2）猜想，再用數(shù)學歸納法證明：當n=1時，經驗證成立；假設當n=k，（k≥1）時結論成立，即，則當n=k+1時，有s_k=a_k+1-k-1；s_k-1=a_k-（k-1）-1，兩式相減即可證得；
（3），即，進而可得，從而可求a的取值范圍．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)學歸納法的運用，考查數(shù)列的極限，掌握數(shù)學歸納法的證明方法是關鍵．