Question

已知函數(shù)f（x）=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若在區(qū)間[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入到f（x）中得到切點的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出直線切線，即可求出切線方程；
（Ⅱ）求出f′（x）=0時x的值，分0＜a≤2和a＞2兩種情況討論函數(shù)的增減性分別得到f（-

1

2

）和f（

1

2

）及f（-

1

2

）和f（

1

a

）都大于0，聯(lián)立求出a的解集的并集即可．

解答：（Ⅰ）解：當(dāng)a=1時，f（x）=x3-

3

2

x2+1，
f（2）=3；f′（x）=3x²-3x，f′（2）=6．
所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-3=6（x-2），
即y=6x-9；
（Ⅱ）解：f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）．
令f′（x）=0，解得x=0或x=

1

a

．
以下分兩種情況討論：
（1）若0＜a≤2，則

1

a

≥

1

2

；
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

當(dāng)x∈[-

1

2

，

1

2

 ]時，f（x）＞0，等價于

f(- 1 2 )＞0 f( 1 2 )＞0

即

5-a 8 ＞0 5+a 8 ＞0

．
解不等式組得-5＜a＜5．因此0＜a≤2；
（2）若a＞2，則0＜

1

a

＜

1

2

當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：
當(dāng)x∈[-

1

2

，

1

2

]時，f（x）＞0等價于

f(- 1 2 )＞0 f( 1 a )＞0

即

5-a 8 ＞0 1- 1 2a2 ＞0.

解不等式組得

2

2

＜a＜5或a＜-

2

2

．因此2＜a＜5．
綜合（1）和（2），可知a的取值范圍為0＜a＜5．

點評：本小題主要考查曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法．