【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓E:(a>b>0)的離心率為,且橢圓E的短軸的端點到焦點的距離等于2.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)己知A,B分別為橢圓E的左、右頂點,過x軸上一點P(異于原點)作斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓E相交于C,D兩點,且直線AC與BD相交于點Q.①若k=1,求線段CD中點橫坐標的取值范圍;②判斷是否為定值,并說明理由.
【答案】(1);(2)①;②為定值,理由見解析
【解析】
(1)根據(jù)離心率和短軸的端點到焦點的距離列方程組,解方程組求得的值,由此求得橢圓的標準方程.
(2)①當時,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,利用判別式列不等式求得的取值范圍.利用韋達定理以及中點坐標公式求得中點的橫坐標,根據(jù)的取值范圍,求得中點的橫坐標的取值范圍.
②將兩點的坐標并代入橢圓方程進行化簡.設(shè)直線的方程為,求得點的坐標,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達定理.利用直線和直線的方程進行化簡,求得點的橫坐標,由此求得
(1)由于橢圓離心率為,且橢圓E的短軸的端點到焦點的距離等于2,所以,解得,所以橢圓的標準方程為.
(2)①當時,設(shè)直線的方程為,,中點坐標為,由,得.所以.由,解得.故中點橫坐標為,當時,即的中點為原點時,與重合,不滿足條件.所以線段中點橫坐標的取值范圍是.
②為定值,理由如下:因為分別為橢圓的左右頂點,所以,因為在橢圓上,所以,所以,所以.
設(shè)直線的方程為,則.由得,所以,,也是要,又直線與直線的方程分別為與,兩方程相除得,解得,所以為定值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)拋物線與的公共點的橫坐標為,過且與相切的直線交于另一點,過且與相切的直線交于另一點,記為的面積.
(Ⅰ)求的值(用表示);
(Ⅱ)若,求的取值范圍.
注:若直線與拋物線有且只有一個公共點,且與拋物線的對稱軸不平行也不重合,則稱該直線與拋物線相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)經(jīng)濟不斷發(fā)展,網(wǎng)上開店銷售農(nóng)產(chǎn)品的人群越來越多,網(wǎng)上交易額也逐年增加,某一農(nóng)戶農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)五年的網(wǎng)銀交易額統(tǒng)計表,如下所示:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
網(wǎng)上交易額(萬元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),年份與網(wǎng)銀交易額之間呈線性相關(guān)關(guān)系,為了計算的方便,農(nóng)戶將上表的數(shù)據(jù)進行了處理,,得到如表:
時間代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)通過(1)中的方程.求出關(guān)于的回歸方程;并用所求回歸方程預(yù)測到2020年年底,該農(nóng)戶網(wǎng)店網(wǎng)銀交易額可達多少?
(附:在線性回歸方程中,,)
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【題目】已知正實數(shù),函數(shù) .
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若在內(nèi)有解,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=30°.△ABD中,∠ADB=90°,∠ABD=45°,且AC=1.將△ABD沿邊AB折疊后,
(1)若二面角C—AB—D為直二面角,則直線CD與平面ABC所成角的正切值為_______;
(2)若二面角C—AB—D的大小為150°,則線段CD的長為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩地相距,現(xiàn)計劃在兩地間以為端點的線段上,選擇一點處建造畜牧養(yǎng)殖場,其對兩地的影響度與所選地點到兩地的距離有關(guān),對地和地的總影響度為對地和地的影響度之和,記點到地的距離為,建在處的畜牧養(yǎng)殖場對地和地的總影響度為.統(tǒng)計調(diào)查表明:畜牧養(yǎng)殖場對地的影響度與所選地點到地的距離成反比,比例系數(shù)為;對地的影響度與所選地點到地的距離成反比,比例系數(shù)為,當畜牧養(yǎng)殖場建在線段中點處時,對地和地的總影響度為.
(1)將表示為的函數(shù),寫出函數(shù)的定義域;
(2)當點到地的距離為多少時,建在此處的畜牧養(yǎng)殖場對地和地的總影響度最?并求出總影響度的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在多面體中,四邊形為平行四邊形,平面平面,,,,,,,點是棱上的動點.
(Ⅰ)當時,求證平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)若二面角所成角的余弦值為,求線段的長.
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【題目】如圖,在直三棱柱中,,點分別為棱的中點.
(Ⅰ)求證:∥平面
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)在線段上是否存在一點,使得直線與平面所成的角為300?如果存在,求出線段的長;如果不存在,說明理由.
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