Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=

π

6

，tana_n+1=seca_n＞0（n∈N^*），（這里：secα=

1

cosα

，secα是表示α的正割）
（1）證明數(shù)列{tan²a_n}為等差數(shù)列；
（2）求正整數(shù)m，使得sina₁•sina₂…sina_m=

1

100

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意和同角三角函數(shù)基本關系式可得tan²a_n+1-tan²a_n=1，求出tan²a₁的值，利用等差數(shù)列的定義即可證明；
（2）由等差數(shù)列的通項公式求出tan²a_n，由條件求出cosa_n，利用同角三角函數(shù)基本關系式可得tana_n=

sinan

cosan

，由題意得tana_n+1=seca_n=

1

cosαn

，代入sina₁•sina₂•…•sina_m進行化簡，結合等式列出關于m的方程，即可求出m的值．

解答： 證明：（1）由題意得，tana_n+1=seca_n＞0（n∈N^*），
所以tan²a_n+1=sec²a_n=

1

cos2αn

=

sin2an+cos2an

cos2αn

=1+tan²a_n，
則tan²a_n+1-tan²a_n=1，
∵a₁=

π

6

，則tan²a₁=

1

3

，
∴數(shù)列{tan²a_n}是以

1

3

首項、以1為公差等差數(shù)列；
解：（2）由（1）可得，tan²a_n=

1

3

+（n-1）=

3n-2

3

，
∵

1

cos2αn

=1+tan²a_n，∴cos²a_n=

1

1+tan2αn

=

3

3n+1

，
由tana_n+1=seca_n＞0（n∈N^*）得，cosa_n=

3 3n+1

，
∵tana_n=

sinan

cosan

，tana_n+1=seca_n=

1

cosαn

，
∴sina₁•sina₂•…•sina_m=（tana₁cosa₁）•（tana₂•cosa₂）•…•（tana_m•cosa_m）
=（tana₁•cosa₁）•（

1

cosα1

•cosa₂）•…•（

1

cosαm-2

•cosa_m-1）•（

1

cosαm-1

•cosa_m）
=（tana₁•cosa_m）=

3

3

•

3 3m+1

，
由題意得，

3

3

•

3 3m+1

=

1

100

，解得m=3333．

點評：本題是數(shù)列與三角函數(shù)的綜合題，比較新穎，考查等差數(shù)列的定義、通項公式，同角三角函數(shù)基本關系式，考查了推理能力與化簡能力，屬于難題．