Question

如圖，四棱錐P-ABCD，面PAD⊥面ABCD，△PAD是等邊三角形，底面ABCD是矩形，AB：AD=

2

：1，F(xiàn)是AB的中點．
（1）求證：面PCD⊥面PAD；
（2）求PC與平面ABCD所成的角；
（3）求二面角P-FC-B的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）欲證面PCD⊥面PAD，只需證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，由已知面PAD⊥面ABCD，根據(jù)面面垂直的性質，以及底面是矩形，易判斷面PCD中的CD垂直面PAD，即可得到要證的結論．
（2）欲求PC與平面ABCD所成的角的大小，只需找到PC在平面ABCD內的射影，PC與它的射影所成角就是PC與平面ABCD所成角．由（1）中PG垂直平面ABCD可知，CG為PC在平面ABCD內的射影，所以∠PCG為所求，再放入Rt△GDC中來解即可．
（3）欲求二面角P-FC-B的大小，只需找到它的平面角，平面角的大小即為二面角的大小，根據(jù)二面角的平面角的定義，只需在棱上找一點，過該點分別在兩個半平面中作與棱垂直的射線，兩射線所成角為所求，按此定義，可判斷∠PFG即為二面角P-FC-D的平面角，再放入Rt△VFG中來解即可．

解答：解：（1）取AD的中點G，連接PG，CG．
∵△ADP為正三角形，∴PG⊥AD．
又面PAD⊥面ABCD．AD為交線，
∴PG⊥面ABCD，∴PG⊥CD，又AD⊥CD
∴CD⊥面PAD，∴面PCD⊥面PAD
（2）由（1）∴PG⊥面ABCD，則∠PCG為PC與
平面ABCD所成的角．
設AD=a，則PG=

3

2

a，CD=

2

a．
在Rt△GDC中，GC=

DC2+GD2

=

2a2+ a2 4

=

3

2

a．
在Rt△VGC中，tan∠PCG=

PG

GC

=

3

3

．
∴∠PCG=30°．
即VC與平面ABCD成30°．
（3）連接GF，則GF=

AG2+AF2

=

3

2

a．
而FC=

FB2+BC2

=

6

2

a．
在△GFC中，GC²=GF²+FC²．∴GF⊥FC．
連接PF，由PG⊥平面ABCD知PF⊥FC，
則∠PFG即為二面角P-FC-D的平面角．
在Rt△VFG中，PG=GF=

3

2

a．
∴∠VPG=45°．二面角P-FC-B的度數(shù)為135°．

點評：本題主要考查了面面垂直的證明，線面角，二面角的計算，綜合考查了學生空間想象力，識圖能力，邏輯推理能力，計算能力．