Question

15．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3）．
（1）若函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，1）∪（3，+∞），求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域為R，值域為（-∞，-1]，求實數(shù)a的值；
（3）若函數(shù)f（x）在（-∞，1]上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由題目可知f（x）為對數(shù)型函數(shù)，因此真數(shù)位置上的部分大于零
（1）由函數(shù)定義域可以求的真數(shù)位置二次函數(shù)的兩根與系數(shù)的關(guān)系，從而求得參數(shù)a的值；
（2）由函數(shù)的定義域可以得到真數(shù)位置二次函數(shù)的判別式與零的大小關(guān)系，根據(jù)值域求得參數(shù)a的值；
（3）由函數(shù)的f（x）的單調(diào)性可以求得真數(shù)位置二次函數(shù)的單調(diào)性，以此求得參數(shù)a的取值范圍．

解答 （1）令u（x）=x²-2ax+3，
由題意，對于函數(shù)u（x），其對稱軸x=$\frac{-2a}{-2}=\frac{1+3}{2}=2$，
即a=2．
（2）由題意，對于函數(shù)u（x），
△=（-2a）²-4×1×3＜0，即$-\sqrt{3}＜a＜\sqrt{3}$，
由函數(shù)f（x）的值域可得當x=$\frac{-2a}{-2}$=a時，有f（a）=-1，
解得a=1或-1．
（3）函數(shù)f（x）在（-∞，1]上為增函數(shù)，
則u（x）在（-∞，1]上為減函數(shù)，
所以對于函數(shù)u（x），有對稱軸x=a≥1，
并且當x=1時，有f（x）_min=f（1）=1-2a+3＞0，
即a＜2，
所以a的取值范圍是1≤a＜2．

點評 此類問題為復(fù)合型函數(shù)的定義域問題，要分層討論，先討論內(nèi)層函數(shù)的性質(zhì)，再討論外層函數(shù)的性質(zhì)．切不可大意這樣的題目．