設(shè)x，y，z為不全為零的實(shí)數(shù)，求證：（2yz+2zx+xy）≤
33
+1
4
（x2+y2+z2）．
考點(diǎn)：不等式的證明
專題：選作題,不等式
分析：只需考慮x，y，z為非負(fù)情況．設(shè)t＞0，根據(jù)基本不等式可得ty2+
z2
t
+tx2+
z2
t
+
x2
2
+
y2
2
≥2yz+2zx+xy，利用t+
1
2
=
2
t
可得t的值，即可證明結(jié)論．
解答： 證明：我們只需考慮x，y，z為非負(fù)情況．
設(shè)t＞0，根據(jù)基本不等式可得ty2+
z2
t
+tx2+
z2
t
+
x2
2
+
y2
2
≥2yz+2zx+xy，
∴（t+
1
2
）x2+（t+
1
2
）y2+
2z2
t
≥2yz+2zx+xy；
由t+
1
2
=
2
t
可得2t2+t-4=0，解得t=
33
-1
4
．
∴（2yz+2zx+xy）≤
33
+1
4
（x2+y2+z2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，拋物線y2=4x與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)到x=-1的距離為-3+3
2
．設(shè)A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線x=-
1
2
上，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在點(diǎn)M，使以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F2，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：輕型汽車的氮氧化物排放量不得超過80mg/km．根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，檢測(cè)單位從某出租車公司運(yùn)營(yíng)的A、B兩種型號(hào)的出租車中分別抽取6輛，對(duì)其氮氧化物的排放量進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果記錄如下：（單位：mg/km）
A 85 80 85 60 90 80
B 70 85 95 x 75 65
由于表格被污損，數(shù)據(jù)x看不清，統(tǒng)計(jì)員只記得A、B兩種出租車的氮氧化物排放量的平均值相等．
（1）求表格中x的值；
（2）從被檢測(cè)的6輛B種型號(hào)的出租車中任取3輛，記事件A：至少有兩輛出租車氮氧化物排放量未超過80mg/km，求事件A的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足
AD
DB
=
CE
EA
=
1
2
．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，并使得平面A1DE⊥平面BCED．
（1）求證：A1D⊥EC；
（2）設(shè)P為線段BC上的一點(diǎn)，試求直線PA1與平面A1BD所成角的正切的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知全體實(shí)數(shù)集R，A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|x2-2ax+a≤0}，且A∩B≠∅，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且10sin2
B+C
2
-5sin（2014π-A）=12，
π
4
＜A＜
π
2
．
（1）求cosA的值；
（2）若a=8，b=5，求向量
BA
在
BC
方向上的射影．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD、BCFE、CDGF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，M為棱AE上任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）若M為AE的中點(diǎn)，求證：AE⊥面MBC；
（Ⅱ）若M不為AE的中點(diǎn)，設(shè)二面角B-MC-A的大小為α，直線BE與平面BMC所成的角為β，求|
sin(β-
π
4
)
cosα
|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=2，2an=1+anan+1，bn=an-1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，Tn=S2n-Sn．
（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：Tn+1＞Tn；
（3）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，S2n≥
7n+11
12
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x＞0，y＞0，x+y=4，則μ=
1
x
+
1
y
的最小值為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案