Question

20．已知關(guān)于x的不等式x|x-m|-2≥m．
（1）當(dāng)m=0時，求該不等式的解集；
（2）當(dāng)x∈[2，3]時，該不等式恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，若m=0時，原不等式為：x|x|-2≥0，進(jìn)而變形可得$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{{x}^{2}≥2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-{x}^{2}≥2}\end{array}\right.$，解可得x的取值范圍，即可得答案；
（2）根據(jù)題意，由x∈[2，3]，將原不等式變形可得：|x-m|≥$\frac{m+2}{x}$，①，分m≤-2與m＞-2兩種情況討論，分別求出m的取值范圍，綜合可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，當(dāng)m=0時，原不等式為：x|x|-2≥0，
等價于$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{{x}^{2}≥2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-{x}^{2}≥2}\end{array}\right.$，
解可得x≥$\sqrt{2}$，
故原不等式的解集為{x|x≥$\sqrt{2}$}；
（2）當(dāng)x∈[2，3]時，原不等式變形可得：|x-m|≥$\frac{m+2}{x}$，①
當(dāng)m≤-2時，m+2≤0，①式恒成立；
當(dāng)m＞-2時，即m+2＞0時，
①式等價于x-m≥$\frac{m+2}{x}$或x-m≤-$\frac{m+2}{x}$，
化簡可得：x²-2≥m（x+1）或x²+2≤m（x+1），②
又由x∈[2，3]，則有x+1＞0且x-1＞0，
則②可以變形為m≤$\frac{{x}^{2}-2}{x+1}$或m≥$\frac{{x}^{2}+2}{x-1}$；
又由$\frac{{x}^{2}-2}{x+1}$=x-$\frac{1}{x+1}$-1，$\frac{{x}^{2}+2}{x-1}$=x-1+$\frac{3}{x-1}$+2；
又由x∈[2，3]，則（$\frac{{x}^{2}-2}{x+1}$）_min=$\frac{2}{3}$，（$\frac{{x}^{2}+2}{x-1}$）_max=6；
則有m≤$\frac{2}{3}$或m≥6；
故m的取值范圍是{m|m≤$\frac{2}{3}$或m≥6}．

點評 本題考查絕對值不等式的運用以及解法，關(guān)鍵是熟練掌握絕對值三角不等式．