Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=5，前n項和為S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）
（I）證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（II）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求函數(shù)f（x）在點x=1處的導(dǎo)數(shù)f'（1）并比較2f'（1）與23n²-13n的大小．

Answer 1

（I）由已知S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），
可得n≥2，S_n=2S_n-1+n+4兩式相減得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1即a_n+1=2a_n+1
從而a_n+1+1=2（a_n+1）
當(dāng)n=1時S₂=2S₁+1+5所以a₂+a₁=2a₁+6又a₁=5所以a₂=11
從而a₂+1=2（a₁+1）
故總有a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N^*又a₁=5，a₁+1≠0
從而

an+1+1

an+1

=2即數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（II）由（I）知a_n=3×2ⁿ-1
因為f（x）=a₁x+a₂x²++a_nxⁿ所以f′（x）=a₁+2a₂x++na_nx^n-1
從而f′（1）=a₁+2a₂++na_n=（3×2-1）+2（3×2²-1）++n（3×2ⁿ-1）
=3（2+2×2²++n×2ⁿ）-（1+2++n）=3（n-1）•2ⁿ⁺¹-

n(n+1)

2

+6．
由上2f′（1）-（23n²-13n）=12（n-1）•2ⁿ-12（2n²-n-1）
=12（n-1）•2ⁿ-12（n-1）（2n+1）
=12（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]①
當(dāng)n=1時，①式=0所以2f'（1）=23n²-13n；
當(dāng)n=2時，①式=-12＜0所以2f'（1）＜23n²-13n
當(dāng)n≥3時，n-1＞0又2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹++C_n^n-1+C_nⁿ≥2n+2＞2n+1
所以（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]＞0即①＞0從而2f′（1）＞23n²-13n．