Question

16．已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a²+b²=4，c²+d²=16，證明ac+bd≤8．

Answer 1

分析 a²+b²=4，c²+d²=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可證明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），即可得出．

解答 證明：∵a²+b²=4，c²+d²=16，
令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．
∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α-β）≤8．當(dāng)且僅當(dāng)cos（α-β）=1時(shí)取等號(hào)．
因此ac+bd≤8．
另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）=4×16=64，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}{c}=\fracxz7bxl9$時(shí)取等號(hào)．
∴-8≤ac+bd≤8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．