【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)動直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M.點N是M關(guān)于O的對稱點,⊙N的半徑為|NO|.設D為AB的中點,DE,DF與⊙N分別相切于點E,F(xiàn),求∠EDF的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)∵橢圓C的離心率為 ,
= ,a2=2b2 ,
∵橢圓C截直線y=1所得線段的長度為2 ,
∴橢圓C過點( ,1),
+ =1,
∴b2=2,a2=4,
∴橢圓C的方程為 + =1.
(Ⅱ)設A,B的橫坐標為x1 , x2 ,
則A(x1 , kx1+m),B(x2 , kx2+m),D( , +m),
聯(lián)立 可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,
∴x1+x2=﹣ ,
∴D(﹣ ),
∵M(0,m),則N(0,﹣m),
∴⊙N的半徑為|m|,
|DN|= = ,
設∠EDF=α,
∴sin = = = = ,
令y= ,則y′= ,
當k=0時,sin 取得最小值,最小值為
∴∠EDF的最小值是60°.
【解析】(Ⅰ)首先根據(jù)題中信息可得橢圓C過點( ,1),然后結(jié)合離心率可得橢圓方程;(Ⅱ)可將題目所求角度的最小值轉(zhuǎn)化為求角度正弦的最小值,結(jié)合題目信息可求得D、N坐標及⊙N半徑,進而將DN長度表示出來,可求∠EDF最小值.
【考點精析】利用函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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