Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四邊形，且AA₁⊥底面ABCD，AB=2，AA₁=BC=4，∠ABC=60°，點E為BC中點，點F為B₁C₁中點．
（1）求證：平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（2）設二面角A₁-ED-A的大小為α，直線AD與平面A₁ED所成的角為β，求sin（α+β）的值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知中AB=2，BC=4，∠ABC=60°，點E為BC中點，我們易得到∠AEB=60°，∠CED=30°，進而得到AE⊥ED，又由AA₁⊥底面ABCD，得AA₁⊥ED，結合線面垂直的判定定理得到ED⊥平面AA₁EF，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面A₁ED⊥平面A₁AEF．
（2）過A作A₁E的垂線，垂足為H，連結HD，由已知條件推導出∠A₁ED為二面角A₁-ED-A的平面角α，∠ADH為直線AD與平面A₁ED所成的角β，由此能求出sin（α+β）=1．

解答： （1）證明：∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°，點E為BC中點，
∴△ABC為等邊三角形，∠AEB=60°，
△CDE中，∠CED=30°，∴AE⊥ED，
∵AA₁⊥底面ABCD，∴AA₁⊥ED，
又由AE∩AA₁=A，∴ED⊥平面AA₁EF，
又∵ED?平面A₁ED，
∴平面A₁ED⊥平面A₁AEF．
（2）∵ED⊥平面A₁AEF，∴A₁E⊥ED，AE⊥ED，
∴∠A₁ED為二面角A₁-ED-A的平面角，∴∠A₁EA=α，
∴sinα=

AA1

A1E

=

2 5

5

，cosα=

5

5

，
過A作A₁E的垂線，垂足為H，連結HD，
∵ED⊥平面A₁AEF，∴ED⊥AH，
∴AH⊥平面A₁ED，
∴∠ADH為直線AD與平面A₁ED所成的角β，即∠ADH=β，
∴AH=

4 5

5

，sinβ=

5

5

=cosα，
∴α+β=90°，
∴sin（α+β）=1．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的求法及其應用，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．