Question

設函數(shù)f（x）=

ex

1+ax

，其中a為正實數(shù)，若f（x）為R上的單調函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的性質

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)為單調函數(shù)，單調函數(shù)的f′（x）≥0或f'（x）≤0恒成立即可得到結論．

解答： 解：∵f（x）=

ex

1+ax

，
∴f′（x）=

ex(1+ax-axln?a)

(1+ax)2

，
要使f（x）為R上的單調函數(shù)，則f（x）為R上的單調增函數(shù)，或f（x）為R上的單調減函數(shù)；
①若f（x）為R上的單調增函數(shù)，
則f′（x）=

ex(1+ax-axln?a)

(1+ax)2

≥0恒成立，
即1+a^x-a^xlna≥0，
∴lna≤

1+ax

ax

=1+

1

ax

，
∴l(xiāng)na≤1，解得0＜a≤e；
②若若f（x）為R上的單調減函數(shù)，
則f′（x）=

ex(1+ax-axln?a)

(1+ax)2

≤0恒成立，
即1+a^x-a^xlna≤0，
∴l(xiāng)na≥

1+ax

ax

=1+

1

ax

，
此時不可能恒成立，
綜上0＜a≤e．

點評：本題主要考查導數(shù)和函數(shù)單調性之間的關系，考查學生的計算能力．