Question

已知F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0 ）的左、右焦點(diǎn)，其左準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)N，并且滿足，

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2．設(shè)A、B是上半橢圓上滿足

NA

=λ

NB

的兩點(diǎn)，其中λ∈[

1

5

，

1

3

]．
（1）求此橢圓的方程及直線AB的斜率的取值范圍；
（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)分別作此橢圓的切線，兩切線相交于一點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在一條定直線上，并求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求橢圓方程，利用已知

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2可得關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，進(jìn)而解出a，b得到標(biāo)準(zhǔn)方程；求直線AB的斜率的取值范圍，可設(shè)其斜率為k，則利用前面的結(jié)果，得到直線AB的點(diǎn)斜式方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）利用設(shè)而不求的思想，建立起λ與k的關(guān)系λ=f（k），進(jìn)而利用λ∈[

1

5

，

1

3

]的范圍解出k的取值范圍．
（2）本問題可通過利用函數(shù)（橢圓的上半部分圖象是一個(gè)函數(shù)關(guān)系）的導(dǎo)數(shù)求出斜率，進(jìn)而得到切線方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，可觀察點(diǎn)P在某條定直線上即可．要求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍，可在上面得到坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，利用（1）的結(jié)論，建立縱坐標(biāo)與直線AB的斜率的關(guān)系來求其范圍．

解答：解：（1）由于

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2，∴

2c= F1F2 |=2 a2 c -1=|NF1|=1 a2=b2+c2

．
解得

a2=2 b2=1

，從而所求橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．（3分）
∵

NA

=λ

NB

，∴A，B，N三點(diǎn)共線，而點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，0）．
設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0．
由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

，消去x得(

1

k

y-2))2+2y2=2，即

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0，
根據(jù)條件可知

△=( 4 k )2-8• 2k2+1 k2 ＜0 k≠0

，解得0＜|k|＜

2

2

（5分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據(jù)韋達(dá)定理，得

y1+y2= 4k 2k2+1 y1y2= 2k2 2k2+1

又由

NA

=λ

NB

，得（x₁+2，y₁）=λ（x2₊2，y₂），∴

x1+2=λ(x2+2) y1=λy2

從而

(1+λ)y2= 4k 2k2+1 λy 2 2 = 2k2 2k2+1

，消去y₂得

(1+λ)2

λ

=

8

2k2+1

，
令φ(λ)=

(1+λ)2

λ

，λ∈[

1

5

，

1

3

]，則φ′(λ)=(λ+

1

λ

+2)′=1-

1

λ2

=

λ2-1

λ2

，
由于

1

5

≤λ≤

1

3

，所以φ′（λ）＜0．
∴φ（λ）是區(qū)間[

1

5

，

1

3

]上的減函數(shù)，從而φ(

1

3

)≤φ(λ)≤φ(

1

5

)，
即

16

3

≤φ(λ)≤

36

5

，
∴

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

，
∴解得

2

6

≤|k|≤

1

2

，而0＜k＜

2

2

，
∴

2

6

≤k≤

1

2

，
因此直線AB的斜率的取值范圍是[

2

6

，

1

2

]（7分）

（2）上半橢圓的方程為y=

1- 1 2 x2

，
且y1=

1- 1 2 x 2 1

，y2=

1- 1 2 x 2 2

，
求導(dǎo)可得y′=

-x

2 1- 1 2 x2

，
所以兩條切線的斜率分別為kPA=

x1

2 1- 1 2 x 2 1

=-

x1

2y1

，
kPB=-

x2

2 1- 1 2 x 2 2

=-

x2

2y2

（8分）

[解法一]：切線PA的方程是y-y1=-

x1

2y1

(x-x1)，即y=-

x 2 1 + 2y 2 1

2y1

．
又x₁²+2y₁²=2，從而切線PA的方程為y=-

x1x

2y1

+

1

y1

，
同理可得切線PB的方程為y1=-

x2x

2y2

+

1

y2

，
由

y=- x1x 2y1 + 1 y1 y=- x2x 2y2 + 1 y2

，可解得點(diǎn)P的坐標(biāo)（x₀，y₀）滿足

x0=- 2(y2-y1) x2y1-x1y2 y0= x2-x1 x2y1-x1y2

再由

x1+2=λ(x2+2) y1+λ=y2

，得

x1+2

y1

=

x2+2

y2

?x₂y₁-x₁y₂=2（y₂-y₁）
∴

x0=- 2(y2-y1) 2(y2-y1) =-1 y0= x2-x1 2(y2-y1) = 1 2kAB

（11分）
又由（1）知

2

6

≤kAB≤

1

2

?2≤

1

kAB

≤3

2

，∴1≤y0≤

3 2

2

．
因此點(diǎn)P在定直線x=-1上，并且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍是[1，

3 2

2

]（12分）

[解法二]：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則可得切線PA的方程是y-y0=-

x1

2y1

(x-x0)，
而點(diǎn)A（x₁，y₁）在此切線上，
所以有y1-y0=-

x1

2y1

（x₁-x₀），即x₀x₁+2y₀y₁=x₁²+2y₁²（9分）
所以有x₀x₁+2y₀y₁=2，①
同理可得x₀x₂+2y₀y₂=2②
根據(jù)①和②可知直線AB的方程為x₀x+2y₀y=2
而直線AB過定點(diǎn)N（-2，0），
∴-2x₀=2?x₀=-1，直線AB的方程為-2x+2y₀y=2，
∴k_AB=

1

2y0

（11分）
又由（1）知

2

6

≤kAB≤

1

2

，
所以有

2

6

≤

1

2y0

≤

1

2

?1≤y0≤

3 2

2

因此點(diǎn)P在定直線x=-1上，并且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍是[1，

3 2

2

]．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題考查橢圓的概念，橢圓方程的求法，橢圓的簡單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系及與向量知識(shí)的綜合應(yīng)用．本題綜合運(yùn)用了向量法，解不等式的方法，設(shè)而不求等思想方法；本題考查橢圓的知識(shí)綜合性較強(qiáng)，應(yīng)用概念也較為靈活，對(duì)學(xué)生的綜合能力素質(zhì)要求較高．