Question

5．關于函數(shù)f（x）=$lg\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$（x≠0），有下列命題：
①f（x）的最小值是lg2；
②其圖象關于y軸對稱；
③當x＞0時，f（x）是增函數(shù)；當x＜0時，f（x）是減函數(shù)；
④f（x）在區(qū)間（-1，0）和（1，+∞）上是增函數(shù)，其中所有正確結(jié)論的序號是①②④．

Answer 1

分析 是結(jié)合復合函數(shù)單調(diào)性的關系進行判斷．
②根據(jù)基本由函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)為偶函數(shù)判斷；
③利用對勾函數(shù)的單調(diào)性判斷；
④由對勾函數(shù)的最值及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進行判斷即可．

解答 解：①函數(shù)f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$，（x∈R且x≠0）．
∵$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$$≥\frac{2|x|}{|x|}$=2，
∴f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$≥2，即f（x）的最小值是lg2，故①正確，
②∵f（-x）=$lg\frac{（-x）^{2}+1}{|-x|}=lg\frac{{x}^{2}+1}{|x|}$=f（x），∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，故②正確；
③當x＞0時，t（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{|x|}=\frac{{x}^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}$，在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上得到遞增，
∴f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上得到遞增，故③錯誤；
④∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，由③知f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上得到遞增，
∴在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（-∞，-1）上得到遞減，故④正確，
故答案為：①②④

點評 本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了復合函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．