Question

11．凸四邊形ABCD的外接圓的圓心O，已知AC≠BD，AC與BD交于點E，若P為四邊形ABCD內(nèi)部一點，使得∠PAB+∠PCB=∠PBC+∠PDC=90°，求證：O，P，E三點共線．

Answer 1

分析 圓O內(nèi)有一點K，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃、A₄B₄是過K的圓O的弦，若A₁A₂∩A₃A₄=M，B₁B₂∩B₃B₄=N，則K，M，N三點共線，由此能證明O，P，E三點共線．

解答 證明：引理：圓O內(nèi)有一點K，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃、A₄B₄是過K的圓O的弦，
若A₁A₂∩A₃A₄=M，B₁B₂∩B₃B₄=N，則K，M，N三點共線．
引理的證明：在圓O所在的實射影平面內(nèi)考慮這樣一個射影變換，
它把圓O變?yōu)閳A，把K為圓心，K的像記為k′等等，
則由圓K′的對稱性，${{A}_{1}}^{'}{{A}_{2}}^{'}$與${{B}_{1}}^{'}{{B}_{2}}^{'}$關(guān)于K′中心對稱，${{A}_{3}}^{'}{{A}_{4}}^{'}$與${{B}_{3}}^{'}{{B}_{4}}^{'}$關(guān)于K′中心對稱，
故M′與N′關(guān)于K′中心對稱，從而K′、M′、N′三點共線，
由射影變換性質(zhì)，得原來K、M、N三點共線．
下面回到本題：
延長AP、BP、CP、DP分別交⊙O于A′、B′、C′、D′，
連結(jié)A′C′、B′D′、A‘B、BC’，
則∠A′C′B+∠CA′B=∠A′AB+∠C′CB=90°，
∴∠A′BC′=90°，A′C′為直徑，同理B′D′為直徑，
∵A不與D、D重合，A′C′不與B′D′重合，∴A′C′∩B′D′=O，
在引理中，令K=P，A₁=A，A₂=C，B₁=B，B₂=D，即得到O、P、E三點共線，
∴O、P、E共線．

點評 本題考查與圓有關(guān)的三點共線的證明，綜合性強，難度較大，解題時要注意射影性質(zhì)的合理運用．