Question

6．函數(shù)y=$\sqrt{12-2x}$+$\sqrt{x-1}$的最大值為$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的定義域，利用三角換元法，利用輔助角公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{12-2x≥0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≤6}\\{x≥1}\end{array}\right.$，即1≤x≤6，
即函數(shù)的定義域?yàn)閇1，6]．
y=$\sqrt{12-2x}$+$\sqrt{x-1}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{6-x}$+$\sqrt{x-1}$，
∵x-1+6-x=5，
∴令x-1=5sin²α，則6-x=5cos²α，α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
則y=$\sqrt{2}$•$\sqrt{5co{s}^{2}α}$+$\sqrt{5si{n}^{2}α}$=$\sqrt{10}$cosα+$\sqrt{5}$sinα，
=$\sqrt{15}$（$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}}$cosα+$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}$sinα）
=$\sqrt{15}$（$\frac{\sqrt{6}}{3}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα），
令sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則函數(shù)y=$\sqrt{15}$（sinθcosα+cosθsinα）=$\sqrt{15}$sin（α+θ）≤$\sqrt{15}$，
故函數(shù)的最大值為$\sqrt{15}$，
故答案為：$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，利用三角換元法，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．