Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比q=2，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，記T_n=$\frac{9{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$（n∈N^*），則數(shù)列{T_n}最大項(xiàng)的值為3．

Answer 1

分析 由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)出T_n=9-2ⁿ-$\frac{8}{{2}^{n}}$，由此能示出數(shù)列{T_n}最大項(xiàng)的值．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比q=2，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，
T_n=$\frac{9{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$（n∈N^*），
∴T_n=$\frac{9•\frac{{a}_{1}（1-{2}^{n}）}{1-2}-\frac{{a}_{1}（1-{{2}^{2n}）}_{\;}}{1-2}}{{a}_{1}•{2}^{n}}$=9-2ⁿ-$\frac{8}{{2}^{n}}$，
∵${2}^{n}+\frac{8}{{2}^{n}}≥2\sqrt{{2}^{n}•\frac{8}{{2}^{n}}}$=4$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)${2}^{n}=\frac{8}{{2}^{n}}$時(shí)取等號(hào)，
又n∈N^*，n=1或2時(shí)，T_n取最大值T₁=9-2-4=3．
∴數(shù)列{T_n}最大項(xiàng)的值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列中最大項(xiàng)的值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列性質(zhì)、基本不等式的合理運(yùn)用．